Die reellen Zahlen « brianp.de

Die reellen Zahlen

Körperaxiome

Kommutativgesetz für die Addition
$a+b=b+a$
Assoziativgesetz für die Addition
$(a+b)+c=a+(b+c)$
es gibt ein $0 \in \mathbb{R}$ , sodass $a+0=a$ gilt, für alle $a \in \mathbb{R}$
zu jedem $a \in \mathbb{R}$ gibt es genau ein $-a \in \mathbb{R}$ , und es gilt $a + (-a) = 0$
Kommutativgesetz für die Multiplikation
$ab=ba$
Assoziativgesetz für die Multiplikation
$(ab)c=a(bc)$
es gibt ein $1 \in \mathbb{R}$ , sodass $a1 = 1a = a$ gilt, für alle $a \in \mathbb{R}$
zu jedem $a \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$ gibt es genau ein $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}$ mit $a \frac{1}{a} = 1$
Distributivgesetz
$(a+b)c=ac+bc$

Anordnungsaxiome

es gibt genau eine der Beziehungen: $a<b; a=b; b<a$
aus $a<b$ und $b<c$ folgt $a<c$
aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$
aus $a<b$ und $0<c$ folgt $ac<bc$

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Man kann eine obere und untere Grenze einer Menge definieren. Diese Grenzen werden auch als Supremum (obere Grenze) und Infimum (untere Grenze) bezeichnet. Dabei existiert nicht in jeder Menge ein Supremum bzw. Infimum. Ist eine Menge z.B. definiert als $[0;\infty[$ so besitzt sie ein Inf. (= 0) aber kein Sup.

Beispiel:
$A=\{a+\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}\}$
Sup A ist 2
Inf A ist 1

Vollständigkeitsaxiom

“Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt in $\mathbb{R}$ ein Supremum.”

Eine Konsequenz dieses Axioms ist das Archimedische Prinzip:
$\forall x \in \mathbb{R} (x > 0 \implies \exists n \in \mathbb{N} x < n)$

Schlagworte: Axiom, Infimum, Mathematik, Supremum, Zahlen

Dieser Beitrag wurde vor am Sonntag, 25. Oktober 2009 um 14:02 Uhr veröffentlicht und unter Mathe 1 gespeichert. Sie können Kommentare zu diesem Eintrag über den RSS-2.0-Feed verfolgen. Sie können einen Kommentar hinterlassen oder einen Trackback von Ihrer Website hierher setzen.