Eigenschaften von Mengen

In diesem Artikel möchte ich alle Eigenschaften sammeln, die man zu den Reellen und Natürlichen Zahlen wissen sollte.

Beschränkte Mengen

Seit die Menge $A \in \mathbb{R}$ . Angenommen es gibt ein $s \in \mathbb{R}$ , für das gilt: $\forall x \in A x \leq s$ – man kann auch $A \leq s$ schreiben -

“jedes Element der Menge ist kleiner als s”

Wenn gilt $\exists s \in \mathbb{R} \: A \leq s$ , so heißt die Menge $A$ nach oben beschränkt.
Mehr Informationen im der Wikipedia: Beschränkte Mengen.

Beispiel:
$\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 9\}$ so ist die Menge nach oben und unten beschränkt: $[-3 \mid 3]$ .

Supremum und Infimum

Supremum/Infimum bezeichnet die obere/untere Schranke einer Menge.
Angenommen wir hätten eine Menge $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \}$ , so liegt das Supremum dieser Menge bei 2, weil 2 die kleinste obere Schranke von A ist. 3 wäre auch eine Schranke, aber nicht die kleinste und damit auch nicht das Supremum von A. Es gibt immer max. ein Supremum und Infimum, aber nicht zwangsweise.
Das Infimum ist ziemlich ähnlich zum Supremum, es ist bloß die größte untere Schranke von einer Menge. So hat zum Beispiel A kein Infiumum, weil alle Zahlen $< 2$ in der Menge enthalten sind.
Beispiel I.2.3

Maximum

Das Maximum ist dem Supremum sehr ähnlich. Jedes Maximum ist auch gleichzeitig das Supremum der Menge. Das Maximum ist die größte Zahl die in der Menge enthalten ist. Dabei muss es nicht immer ein Maximum geben: In der Beispielmenge A von Supremum und Infimum gibt es kein Maximum, weil es unendlich viele Zahlen gibt, die größer sind als ihr Vorgänger, aber kleiner als 2.
Definieren wir eine neue Menge $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2 \}$ , so gibt es hier ein Maximum – genau 2.

Schlagworte: Beschränkt, Infimum, Mathematik, Maximum, Menge, Natürlich, reell, Supremum, Zahlen

Dieser Beitrag wurde vor am Samstag, 14. November 2009 um 15:46 Uhr veröffentlicht und unter Mathe 1 gespeichert. Sie können Kommentare zu diesem Eintrag über den RSS-2.0-Feed verfolgen. Sie können einen Kommentar hinterlassen oder einen Trackback von Ihrer Website hierher setzen.

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