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Die reellen Zahlen

Sonntag, 25. Oktober 2009

Körperaxiome

Kommutativgesetz für die Addition
$a+b=b+a$
Assoziativgesetz für die Addition
$(a+b)+c=a+(b+c)$
es gibt ein $0 \in \mathbb{R}$ , sodass $a+0=a$ gilt, für alle $a \in \mathbb{R}$
zu jedem $a \in \mathbb{R}$ gibt es genau ein $-a \in \mathbb{R}$ , und es gilt $a + (-a) = 0$
Kommutativgesetz für die Multiplikation
$ab=ba$
Assoziativgesetz für die Multiplikation
$(ab)c=a(bc)$
es gibt ein $1 \in \mathbb{R}$ , sodass $a1 = 1a = a$ gilt, für alle $a \in \mathbb{R}$
zu jedem $a \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$ gibt es genau ein $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}$ mit $a \frac{1}{a} = 1$
Distributivgesetz
$(a+b)c=ac+bc$

Anordnungsaxiome

es gibt genau eine der Beziehungen: $a<b; a=b; b<a$
aus $a<b$ und $b<c$ folgt $a<c$
aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$
aus $a<b$ und $0<c$ folgt $ac<bc$

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Man kann eine obere und untere Grenze einer Menge definieren. Diese Grenzen werden auch als Supremum (obere Grenze) und Infimum (untere Grenze) bezeichnet. Dabei existiert nicht in jeder Menge ein Supremum bzw. Infimum. Ist eine Menge z.B. definiert als $[0;\infty[$ so besitzt sie ein Inf. (= 0) aber kein Sup.

Beispiel:
$A=\{a+\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}\}$
Sup A ist 2
Inf A ist 1

Vollständigkeitsaxiom

“Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt in $\mathbb{R}$ ein Supremum.”

Eine Konsequenz dieses Axioms ist das Archimedische Prinzip:
$\forall x \in \mathbb{R} (x > 0 \implies \exists n \in \mathbb{N} x < n)$

Schlagworte:Axiom, Infimum, Mathematik, Supremum, Zahlen
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Grundlegende Mengenaxiome

Samstag, 24. Oktober 2009

“Ein Axiom ist ein unmittelbar einleuchtender Grundsatz der als Grundlage für Beweise in einem bestimmten Teilgebiet benutzt wird.” Oder er sollte zumindest unmittelbar Einleuchtend sein…

Ein Beispiel wie ein Axiom aussieht und was es definieren könnte ist folgender Ausdruck:
$\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B}$ ist eine Abkürzung für:
$\forall x(x \in \mathbb{A} \implies x \in \mathbb{B})$

Extensionalitätsaxiom
$A = B \iff \forall x(x \in A \iff x\in B)$

Wenn die Menge A gleich der Menge B ist, dann gilt für jede Zahl x die in A enthalten ist dass sie auch gleichzeitig in B enthalten ist, und anders herum.
Aussonderungsaxiom
$\forall y \exists z \forall x(x \in z \iff (x \in y \wedge A(x))$

Man kann aus jeder Menge y die Menge z aussondern, deren Werte x eine bestimmte Eigenschaft (A(x)) haben.

A(x) ist eine formulierbare Aussage, in der y und z nicht erwähnt werden.
Paarmengenaxiom
$\forall x, y \exists z \forall u (u \in z \iff (u = x \vee u = y))$

Man kann aus zwei beliebigen Mengen x, y eine Teilmenge z bilden, deren Elemente u Element von x oder/und y ist.
Vereinigungsaxiom
$\forall x \exists y \forall u (u \in y \iff \exists z(u \in z \wedge z \in x))$

Für jede Menge x gibt es eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind.

Für eine eindeutig definierte Menge y kann man auch $\cup x$ schreiben.
Potenzmengenaxiom
$\forall x \exists y \forall z (z \in y \iff \forall u(u \in z \implies u \in x))$

Wenn z ein Element von y ist, und y eine Teilmenge von x, dann gilt für alle Zahlen u die ein Element von z sind, das sie gleichzeitig auch ein Element von x sind.
Unendlichkeitsaxiom
$\exists x(\emptyset \in x \wedge \forall y \in x(Sc(y) \in x))$

Das Unendlichkeitsaxiom behauptet das es eine Menge gibt, die $\emptyset$ als Teilmenge hat und unter der Operation Sc abgeschlossen ist.

Sc steht für Successor, also Nachfolger.