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Die vollständige Induktion ist eine Methode um eine (Un-)Gleichung mathematisch zu beweisen. Neben der vollständigen Induktion gibt es noch zwei weitere Beweismöglichkeiten: der direkte Beweis und der Beweis durch Widerspruch.

Man kann damit, einfach gesagt, beweisen das eine Gleichung auch im Unendlichen noch Gültigkeit hat. Mehr und genauere Informationen dazu findet man in diversen Seiten im Internet und natürlich in der Wikipedia.

In der Wikipedia habe ich ein sehr schönes Beispiel gefunden, an der ich die Vorgehensweise verdeutlichen möchte:
Bildet man Summen ungerader Zahlen, stellt man fest, dass das Ergebnis immer (?) eine Quadratzahl ist.

1                 = 1  = 
1 + 3             = 4  = 
1 + 3 + 5         = 9  = 
1 + 3 + 5 + 7     = 16 = 
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 

Als erstes bilden wir die daraus resultierende Formel .

Der Induktionsanfang (IA)

Jetzt setzen wir den kleinsten Wert in die Formel ein. In diesem Fall ist es die 1, weil unter dem Summenzeichen steht.

Darauf folgt , also ist die Gleichung bzw. unsere Annahme für die Zahl 1 gültig.

Der Induktionshypothese (IH)

In der Induktionshypothese sagen wir nur, dass wir davon ausgehen, dass die Gleichung für gültig ist.

Der Induktionsschritt (IS)

Aufbauend auf der Induktionshypothese können wir nun sagen, dass die Gleichung auch für jedes noch wahr sein muss. Das folgt daraus, dass unendlich ist. Da macht das auch keinen Unterschied mehr.

Also setzen wir den neuen Wert für ein. Wie man sehen kann, ersetzt man ganz einfach alle nur :

Jetzt kann man die höchste Stelle aus der Summenzeichen herauslösen, also das . Übrig bleibt das Summenzeichen mit der oberen Grenze :

Ganz am Anfang haben wir definiert dass , also ersetzen wir das Summenzeichen in der Gleichung durch und fassen zusammen bzw. rechnen den Binom aus:

Nun muss man nur noch alles Zusammenfassen und erhält damit den Beweis:

Zur abschließenden Zusammenfassung möchte ich noch dieses Video einbinden:

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