Beschränkte Mengen

Seit die Menge . Angenommen es gibt ein , für das gilt: – man kann auch schreiben -

“jedes Element der Menge ist kleiner als s”

Wenn gilt , so heißt die Menge nach oben beschränkt.
Mehr Informationen im der Wikipedia: Beschränkte Mengen.

Beispiel:
so ist die Menge nach oben und unten beschränkt: .

Supremum und Infimum

Supremum/Infimum bezeichnet die obere/untere Schranke einer Menge.
Angenommen wir hätten eine Menge , so liegt das Supremum dieser Menge bei 2, weil 2 die kleinste obere Schranke von A ist. 3 wäre auch eine Schranke, aber nicht die kleinste und damit auch nicht das Supremum von A. Es gibt immer max. ein Supremum und Infimum, aber nicht zwangsweise.
Das Infimum ist ziemlich ähnlich zum Supremum, es ist bloß die größte untere Schranke von einer Menge. So hat zum Beispiel A kein Infiumum, weil alle Zahlen in der Menge enthalten sind.
Beispiel I.2.3

Maximum

Das Maximum ist dem Supremum sehr ähnlich. Jedes Maximum ist auch gleichzeitig das Supremum der Menge. Das Maximum ist die größte Zahl die in der Menge enthalten ist. Dabei muss es nicht immer ein Maximum geben: In der Beispielmenge A von Supremum und Infimum gibt es kein Maximum, weil es unendlich viele Zahlen gibt, die größer sind als ihr Vorgänger, aber kleiner als 2.
Definieren wir eine neue Menge , so gibt es hier ein Maximum – genau 2.

• Kommutativgesetz für die Addition
  
• Assoziativgesetz für die Addition
  
• es gibt ein , sodass gilt, für alle
• zu jedem gibt es genau ein , und es gilt
• Kommutativgesetz für die Multiplikation
  
• Assoziativgesetz für die Multiplikation
  
• es gibt ein , sodass gilt, für alle
• zu jedem mit gibt es genau ein mit
• Distributivgesetz
  

Anordnungsaxiome

• es gibt genau eine der Beziehungen:
• aus und folgt
• aus folgt
• aus und folgt

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Man kann eine obere und untere Grenze einer Menge definieren. Diese Grenzen werden auch als Supremum (obere Grenze) und Infimum (untere Grenze) bezeichnet. Dabei existiert nicht in jeder Menge ein Supremum bzw. Infimum. Ist eine Menge z.B. definiert als so besitzt sie ein Inf. (= 0) aber kein Sup.

Beispiel:

Sup A ist 2
Inf A ist 1

Vollständigkeitsaxiom

“Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von besitzt in ein Supremum.”

Eine Konsequenz dieses Axioms ist das Archimedische Prinzip: