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Artikel-Schlagworte: „Mathematik“

Binomialkoeffizient

Mittwoch, 23. Dezember 2009

Mit dem Binomialkoeffizient kann man die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, wie man k-Elemente aus einer n-elementigen Menge anordnen kann. Dabei gibt es keine Wiederholungen und die Reihenfolge spielt auch keine Rolle.
Das Symbol ist: $n \choose k$ (gesprochen “n über k”).

Die Formel zur Berechnung ist: $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Bedeutung der einzelnen Elemente

Man stellt sich dabei am besten vor, dass man die n-Elemente beliebig anordnet und dann die ersten k-Elemente zieht (sich also nur die ersten k-Elemente ansieht). Der Rest wird ignoriert. Deshalb steht im Zähler ${n!}$ – also die Anzahl der Möglichkeiten n-Elemente anzuordnen wenn die Reihenfolge wichtig ist.

Da die Reihenfolge beim Binomialkoeffizient aber keine Rolle spielen soll, steht im Nenner ${k!}$ multipliziert mit den restlichen Elementen die unwichtig sind, also ${(n - k)!}$ .

Schlagworte:Binomialkoeffizient, Fakultät, Mathematik
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Online Funktionsplotter

Donnerstag, 19. November 2009

Der Funktionsplotter von http://www.mathe-fa.de/de ist sehr gelungen. Besonders gut finde ich, das das Ergebnis vom Server erzeugt wird und als Bild an an den Browser geschickt wird. Deshalb braucht man keine Plugins auf Clientseite, sondern einfach nur einen simplen Browser!

Link: http://www.mathe-fa.de/de

Schlagworte:Bild, Funktion, Mathematik, Plotter
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Funktionen

Sonntag, 15. November 2009

Eine Funktion besteht aus geordneten Paaren. Das bedeutet zu jedem x-Wert gibt es einen (!!) y-Wert. Deshalb kann man ein geordnetes Paar auch so schreiben: $(x, y)$ .
Wenn $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$ dann folgt daraus, dass $x_1 = x_2$ und $y_1 = y_2$ .
$(x, y) = (y, x)$ gilt nur wenn $x = y$ .
Ein geordnetes Paar wird auch als Tupel bezeichnet. Dabei ist ein Tupel mit 2 Elementen $(x, y)$ ein 2-Tupel, mit 3 Elementen $(x, y, z)$ 3-Tupel oder auch Tripel, usw.

Kartesisches Produkt

Das Kartesisches Produkt ist die Menge aller geordneten Paare die sich aus den beiden Ausgangsmengen bilden lassen.

“Jedes mit jedem”

Die Definition ist: $A \times B := \{(a, b) | a \in A, b \in B \}$
Beispiele und weitere Gesetze, siehe Wikipedia.

Definitionsbereich, Wertebereich und Graph

Nehmen wir eine an, wir hätten 2 Mengen $A$ und $B$ und Funktion von $A$ nach $B$ ist gegeben durch die Menge $G \subseteq A \times B$ . Wobei gilt: $\forall x \in A \exists y \in B (x, y) \in G$ . Die Funktion ist demnach $f = (A, B, C)$ .
Definitionsbereich: $D(f) = A$
Wertebereich: $W(f) = B$
Graph: $graph(f) = G$
2 Funktionen sind gleich, wenn der Wertebereich, Definitionsbereich und Graph identisch ist.

Eine Funktion f von $A$ nach $B$ schreibt man $f: A \to B$ .

Die Funktion g ist die Erweiterung von f, wenn $D(f) \subseteq D(g)$ .

Eigenschaften

Eine Funktion ist injektiv, wenn jeder Funktionswert maximal einmal erreicht wird.
$\forall x_1, x_2 \in A (f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2)$
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens einmal abgebildet wird.
$\forall y \in B \exists x \in A f(x) = y$
Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
$\forall y \in B \exists^1 x \in A f(x) = y$

Beispiel I.4.5

Bilder

Das Bild eines Elements $a$ der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert ( $f(a)$ ).
</li>
Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge $A$ , also $f(A) := \{f(a) | a \in A\}$ . Das Bild ist also eine Teilmenge des Wertebereichs.
Beispiele.

Das Urbild eines Elements $b$ des Wertebereich ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild (resultierender Funktionswert) $b$ ist. Man schreibt $f^{-1}(b) := \{a \in A | f(a)=b\}$ .
Beispiele.

Das Urbild einer Teilmenge $T$ des Wertebereiches ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: $f^{-1}(T) := \{a \in A | f(a) \in T\}$ .

Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element des Wertebereichs das Urbildelement zu.

Unter der Verkettung oder Komposition versteht man die Hintereinanderausführung $(g \circ f)(a) := g(f(a))$ zweier Funktionen für alle Elemente des Defnitionsbereiches.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn sehr kleine Änderungen an den Eingangswerten auch nur sehr kleine Änderungen an den Ausgangswerten verursachen. Beispiele: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Beispiele_und_Gegenbeispiele

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Schlagworte:bijektiv, Bild, Definitionsbereich, Funktion, geordnet, Graph, Hintereinanderausführung, injektiv, Kartesisch, Komposition, Mathematik, Paar, Produkt, surjektiv, Tripel, Tupel, Umkehrfunktion, Urbild, Verkettun, Wertebereich
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Eigenschaften von Mengen
Samstag, 14. November 2009

In diesem Artikel möchte ich alle Eigenschaften sammeln, die man zu den Reellen und Natürlichen Zahlen wissen sollte.

Beschränkte Mengen

Seit die Menge $A \in \mathbb{R}$ . Angenommen es gibt ein $s \in \mathbb{R}$ , für das gilt: $\forall x \in A x \leq s$ – man kann auch $A \leq s$ schreiben -

“jedes Element der Menge ist kleiner als s”

Wenn gilt $\exists s \in \mathbb{R} \: A \leq s$ , so heißt die Menge $A$ nach oben beschränkt.
Mehr Informationen im der Wikipedia: Beschränkte Mengen.

Beispiel:
$\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 9\}$ so ist die Menge nach oben und unten beschränkt: $[-3 \mid 3]$ .

Supremum und Infimum

Supremum/Infimum bezeichnet die obere/untere Schranke einer Menge.
Angenommen wir hätten eine Menge $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \}$ , so liegt das Supremum dieser Menge bei 2, weil 2 die kleinste obere Schranke von A ist. 3 wäre auch eine Schranke, aber nicht die kleinste und damit auch nicht das Supremum von A. Es gibt immer max. ein Supremum und Infimum, aber nicht zwangsweise.
Das Infimum ist ziemlich ähnlich zum Supremum, es ist bloß die größte untere Schranke von einer Menge. So hat zum Beispiel A kein Infiumum, weil alle Zahlen $< 2$ in der Menge enthalten sind.
Beispiel I.2.3

Maximum

Das Maximum ist dem Supremum sehr ähnlich. Jedes Maximum ist auch gleichzeitig das Supremum der Menge. Das Maximum ist die größte Zahl die in der Menge enthalten ist. Dabei muss es nicht immer ein Maximum geben: In der Beispielmenge A von Supremum und Infimum gibt es kein Maximum, weil es unendlich viele Zahlen gibt, die größer sind als ihr Vorgänger, aber kleiner als 2.
Definieren wir eine neue Menge $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2 \}$ , so gibt es hier ein Maximum – genau 2.

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Schlagworte:Beschränkt, Infimum, Mathematik, Maximum, Menge, Natürlich, reell, Supremum, Zahlen
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Surjektivität, Injektivität, Bijektivität
Montag, 2. November 2009

Surjektivität, Injektivität und Bijektivität sind Eigenschaft von mathematischen Funktionen.

Surjektivität $\forall y \in Y \exists x \in X : f(x)=y$
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert des Wertebereiches als y-Wert der Funktion angenommen wird (mindestens einmal).
Beispiele und Gegenbeispiele in der Wikipedia

Injektivität $\forall x_1, x_2 \in X : (f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$
Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereiches max. einmal angenommen wird.
Beispiele und Gegenbeispiele in der Wikipedia

Es darf keine 2 x-Werte geben, die den gleichen y-Wert haben.

Bijektivität
Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist.
Beispiele und Gegenbeispiele in der Wikipedia

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Schlagworte:Bijektivität, Funktion, Injektivität, Mathematik, Surjektivität
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Bild einer Funktion (auch Bildmenge)
Montag, 2. November 2009

Das Bild einer Funktion (auch als Bildmenge bekannt) ist ein Teilbereich des Wertebereich der Funktion. Es bezeichnet dabei allerdings nur die Elemente des Definitionsbereiches die die Funktion auch wirklich annimmt.

Beispiele:
1) $f(x)=\frac{1}{x}$ Bildmenge von $f(\mathbb{R} \setminus \{0\})$ ist $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

2) $f(x)=x^2$ Bildmenge von $f(\mathbb{R})$ ist $\mathbb{R}_+$

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Schlagworte:Bild einer Funktion, Bildmenge, Funktion, Mathematik, Wertebereich
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Die reellen Zahlen
Sonntag, 25. Oktober 2009

Körperaxiome

Kommutativgesetz für die Addition
$a+b=b+a$

Assoziativgesetz für die Addition
$(a+b)+c=a+(b+c)$

es gibt ein $0 \in \mathbb{R}$ , sodass $a+0=a$ gilt, für alle $a \in \mathbb{R}$

zu jedem $a \in \mathbb{R}$ gibt es genau ein $-a \in \mathbb{R}$ , und es gilt $a + (-a) = 0$

Kommutativgesetz für die Multiplikation
$ab=ba$

Assoziativgesetz für die Multiplikation
$(ab)c=a(bc)$

es gibt ein $1 \in \mathbb{R}$ , sodass $a1 = 1a = a$ gilt, für alle $a \in \mathbb{R}$

zu jedem $a \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$ gibt es genau ein $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}$ mit $a \frac{1}{a} = 1$

Distributivgesetz
$(a+b)c=ac+bc$

Anordnungsaxiome

es gibt genau eine der Beziehungen: $a<b; a=b; b<a$

aus $a<b$ und $b<c$ folgt $a<c$

aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$

aus $a<b$ und $0<c$ folgt $ac<bc$

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Man kann eine obere und untere Grenze einer Menge definieren. Diese Grenzen werden auch als Supremum (obere Grenze) und Infimum (untere Grenze) bezeichnet. Dabei existiert nicht in jeder Menge ein Supremum bzw. Infimum. Ist eine Menge z.B. definiert als $[0;\infty[$ so besitzt sie ein Inf. (= 0) aber kein Sup.

Beispiel:
$A=\{a+\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}\}$
Sup A ist 2
Inf A ist 1

Vollständigkeitsaxiom

“Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt in $\mathbb{R}$ ein Supremum.”

Eine Konsequenz dieses Axioms ist das Archimedische Prinzip:
$\forall x \in \mathbb{R} (x > 0 \implies \exists n \in \mathbb{N} x < n)$

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Schlagworte:Axiom, Infimum, Mathematik, Supremum, Zahlen
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Grundlegende Mengenaxiome
Samstag, 24. Oktober 2009

“Ein Axiom ist ein unmittelbar einleuchtender Grundsatz der als Grundlage für Beweise in einem bestimmten Teilgebiet benutzt wird.” Oder er sollte zumindest unmittelbar Einleuchtend sein…

Ein Beispiel wie ein Axiom aussieht und was es definieren könnte ist folgender Ausdruck:
$\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B}$ ist eine Abkürzung für:
$\forall x(x \in \mathbb{A} \implies x \in \mathbb{B})$

Extensionalitätsaxiom
$A = B \iff \forall x(x \in A \iff x\in B)$

Wenn die Menge A gleich der Menge B ist, dann gilt für jede Zahl x die in A enthalten ist dass sie auch gleichzeitig in B enthalten ist, und anders herum.

Aussonderungsaxiom
$\forall y \exists z \forall x(x \in z \iff (x \in y \wedge A(x))$

Man kann aus jeder Menge y die Menge z aussondern, deren Werte x eine bestimmte Eigenschaft (A(x)) haben.

A(x) ist eine formulierbare Aussage, in der y und z nicht erwähnt werden.

Paarmengenaxiom
$\forall x, y \exists z \forall u (u \in z \iff (u = x \vee u = y))$

Man kann aus zwei beliebigen Mengen x, y eine Teilmenge z bilden, deren Elemente u Element von x oder/und y ist.

Vereinigungsaxiom
$\forall x \exists y \forall u (u \in y \iff \exists z(u \in z \wedge z \in x))$

Für jede Menge x gibt es eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind.

Für eine eindeutig definierte Menge y kann man auch $\cup x$ schreiben.

Potenzmengenaxiom
$\forall x \exists y \forall z (z \in y \iff \forall u(u \in z \implies u \in x))$

Wenn z ein Element von y ist, und y eine Teilmenge von x, dann gilt für alle Zahlen u die ein Element von z sind, das sie gleichzeitig auch ein Element von x sind.

Unendlichkeitsaxiom
$\exists x(\emptyset \in x \wedge \forall y \in x(Sc(y) \in x))$

Das Unendlichkeitsaxiom behauptet das es eine Menge gibt, die $\emptyset$ als Teilmenge hat und unter der Operation Sc abgeschlossen ist.

Sc steht für Successor, also Nachfolger.

Quellen:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiom&oldid=65196186
http://www.phillex.de/axiom.htm

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Schlagworte:Axiom, Mathematik, Menge
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Vollständige Induktion
Dienstag, 20. Oktober 2009

Die vollständige Induktion ist eine Methode um eine (Un-)Gleichung mathematisch zu beweisen. Neben der vollständigen Induktion gibt es noch zwei weitere Beweismöglichkeiten: der direkte Beweis und der Beweis durch Widerspruch.

Man kann damit, einfach gesagt, beweisen das eine Gleichung auch im Unendlichen noch Gültigkeit hat. Mehr und genauere Informationen dazu findet man in diversen Seiten im Internet und natürlich in der Wikipedia.

In der Wikipedia habe ich ein sehr schönes Beispiel gefunden, an der ich die Vorgehensweise verdeutlichen möchte:
Bildet man Summen ungerader Zahlen, stellt man fest, dass das Ergebnis immer (?) eine Quadratzahl ist.

1 = 1 = $1^2$ 1 + 3 = 4 = $2^2$ 1 + 3 + 5 = 9 = $3^2$ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = $4^2$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = $5^2$

Als erstes bilden wir die daraus resultierende Formel $\sum^n_{t=1} (2t-1) = n^2$ .

Der Induktionsanfang (IA)

Jetzt setzen wir den kleinsten Wert in die Formel ein. In diesem Fall ist es die 1, weil unter dem Summenzeichen $t=1$ steht.
$\sum^1_{t=1} (2*1 - 1) = 1^2$
Darauf folgt $1 = 1$ , also ist die Gleichung bzw. unsere Annahme für die Zahl 1 gültig.

Der Induktionshypothese (IH)

In der Induktionshypothese sagen wir nur, dass wir davon ausgehen, dass die Gleichung für $\forall n \in \mathbb{N}$ gültig ist.

Der Induktionsschritt (IS)

Aufbauend auf der Induktionshypothese können wir nun sagen, dass die Gleichung auch für jedes $n + 1$ noch wahr sein muss. Das folgt daraus, dass $n$ unendlich ist. Da macht das $+ 1$ auch keinen Unterschied mehr.

Also setzen wir den neuen Wert für $n$ ein. Wie man sehen kann, ersetzt man ganz einfach alle $n$ nur $n+1$ :
$\sum^{n+1}_{t=1} (2t - 1) = (n+1)^2$

Jetzt kann man die höchste Stelle aus der Summenzeichen herauslösen, also das $n+1$ . Übrig bleibt das Summenzeichen mit der oberen Grenze $n$ :
$\sum^{n}_{t=1} (2t - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+1)^2$

Ganz am Anfang haben wir definiert dass $\sum^n_{t=1} (2t-1) = n^2$ , also ersetzen wir das Summenzeichen in der Gleichung durch $n^2$ und fassen zusammen bzw. rechnen den Binom aus:
$n^2 + (2n + 2 - 1) = n^2 + 2n + 1$

Nun muss man nur noch alles Zusammenfassen und erhält damit den Beweis:
$2n + 1 = 2n + 1$

Zur abschließenden Zusammenfassung möchte ich noch dieses Video einbinden:

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Schlagworte:Beweis, induktion, Mathematik, unendlich, vollständige
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Logische und mengentheoretische Grundlagen
Dienstag, 13. Oktober 2009

Zahlensysteme

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$
Alle positiven Ganzzahlen, meist ohne 0.
$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$
$\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$

Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
Alle Ganzzahlen.
$\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$

Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$
Alle Bruchzahlen.
$\mathbb{Q} = \{..., -1, ..., -\frac{1}{2}, ..., 0, ..., \frac{1}{2}, ..., 1, ...\}$

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$
Alle Bruchzahlen und irrationalen Zahlen (d.h. unendliche, nicht periodische und demzufolge nicht als Bruch darstellbare Zahlen).
$\mathbb{R} = \{..., -\sqrt{2}, ..., 0, ..., \sqrt{2}, ...\}$

Mehr Informationen zu Zahlensystemen: http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenmenge

Aufzählungsarten

Aufzählende Beschreibung
Alle Elemente werden aufzählend beschrieben.
$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$
$M_1 = \{0, 4, -3, ...\}$

Deskriptive Beschreibung
Die Elemente werden durch eine charakteristische Eigenschaft beschrieben.
$M_2 = \{x | 0 \leq x \leq 100\}$

Mengenbeziehungen

Wie Zahlen kann man auch Mengen zueinander in Beziehung setzen. Bei Zahlen funktioniert das mit folgenden Operatoren: $\leq \geq$ .

Bei Mengen benutzt man $\subseteq$ für eine Unter- oder Teilmengenbeziehung und $\supseteq$ für eine Obermengenbeziehung.

Es gilt:

Wenn eine Menge die Teilmenge einer anderen ist.
$M_1 \subseteq M_2 := \forall x\{x | x \in M_1 \implies x \in M_2\}$

“Wenn $M_1$ eine Teilmenge von $M_2$ ist, dann gilt für
alle ( $\forall x$ ) $x$ ist ein Element ( $\in$ ) von $M_1$ und deshalb gleichzeitig ein Element ( $\in$ ) von $M_2$ . In $M_2$ können aber noch andere Elemente sein, die nicht in $M_1$ sind.”

Wenn beide Mengen exakt Gleich sind (exakt die gleichen Elemente haben).
$M_1 = M_2 := \forall x\{x | x \in M_1 \iff x \in M_2\}$

“Wenn $M_1$ das exakt gleiche ist wie $M_2$ , dann gilt für
alle ( $\forall x$ ) $x$ ist ein Element ( $\in$ ) von $M_1$ und auch ein Element ( $\in$ ) von $M_2$ .”

Die leere Menge $\emptyset$ ist eine Teilmenge jeder beliebigen anderen Menge.
$\emptyset \subseteq M_1$

Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst.
$M_2 \subseteq M_2$

Mengenoperationen

Vereinigungsmenge
$M_1 \cup M_2 := \{a | a \in M_1 \vee a \in M_2\}$

“Für die Vereinigungsmenge von $M_1$ und $M_2$ gilt, $a$ ist ein Element ( $\in$ ) von $M_1$ oder/und ein Element ( $\in$ ) von $M_2$ .”

Schnittmenge
$M_1 \cap M_2 := \{a | a \in M_1 \wedge a \in M_2\}$

“Für die Schnittmenge von $M_1$ und $M_2$ gilt, $a$ ist ein Element ( $\in$ ) von $M_1$ und ein Element ( $\in$ ) von $M_2$ .”

Differenzmenge
$M_1 \setminus M_2 := \{a | a \in M_1 \wedge a \notin M_2\}$

“Für $M_1$ ohne $M_2$ gilt, $a$ ist ein Element von $M_1$ und kein Element von $M_2$ .”

Zwei Mengen $M_1$ und $M_2$ heißen disjunkt wenn $M_1 \cap M_2 = \emptyset$ .

$M_1 \notin M_2$ steht für $\neg M_1 \in M_2$ .

Wenn gilt $M_1 \subseteq M_2$ dann kann man auch $M_2^C$ schreiben.

Ich gebe keine Gewehr auf Korrektheit.

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Schlagworte:Grundlagen, Logische, Mathematik, Mengentheorie
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