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Eigenschaften von Mengen

Samstag, 14. November 2009

In diesem Artikel möchte ich alle Eigenschaften sammeln, die man zu den Reellen und Natürlichen Zahlen wissen sollte.

Beschränkte Mengen

Seit die Menge $A \in \mathbb{R}$ . Angenommen es gibt ein $s \in \mathbb{R}$ , für das gilt: $\forall x \in A x \leq s$ – man kann auch $A \leq s$ schreiben -

“jedes Element der Menge ist kleiner als s”

Wenn gilt $\exists s \in \mathbb{R} \: A \leq s$ , so heißt die Menge $A$ nach oben beschränkt.
Mehr Informationen im der Wikipedia: Beschränkte Mengen.

Beispiel:
$\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 9\}$ so ist die Menge nach oben und unten beschränkt: $[-3 \mid 3]$ .

Supremum und Infimum

Supremum/Infimum bezeichnet die obere/untere Schranke einer Menge.
Angenommen wir hätten eine Menge $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \}$ , so liegt das Supremum dieser Menge bei 2, weil 2 die kleinste obere Schranke von A ist. 3 wäre auch eine Schranke, aber nicht die kleinste und damit auch nicht das Supremum von A. Es gibt immer max. ein Supremum und Infimum, aber nicht zwangsweise.
Das Infimum ist ziemlich ähnlich zum Supremum, es ist bloß die größte untere Schranke von einer Menge. So hat zum Beispiel A kein Infiumum, weil alle Zahlen $< 2$ in der Menge enthalten sind.
Beispiel I.2.3

Maximum

Das Maximum ist dem Supremum sehr ähnlich. Jedes Maximum ist auch gleichzeitig das Supremum der Menge. Das Maximum ist die größte Zahl die in der Menge enthalten ist. Dabei muss es nicht immer ein Maximum geben: In der Beispielmenge A von Supremum und Infimum gibt es kein Maximum, weil es unendlich viele Zahlen gibt, die größer sind als ihr Vorgänger, aber kleiner als 2.
Definieren wir eine neue Menge $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2 \}$ , so gibt es hier ein Maximum – genau 2.

Schlagworte:Beschränkt, Infimum, Mathematik, Maximum, Menge, Natürlich, reell, Supremum, Zahlen
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Grundlegende Mengenaxiome

Samstag, 24. Oktober 2009

“Ein Axiom ist ein unmittelbar einleuchtender Grundsatz der als Grundlage für Beweise in einem bestimmten Teilgebiet benutzt wird.” Oder er sollte zumindest unmittelbar Einleuchtend sein…

Ein Beispiel wie ein Axiom aussieht und was es definieren könnte ist folgender Ausdruck:
$\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B}$ ist eine Abkürzung für:
$\forall x(x \in \mathbb{A} \implies x \in \mathbb{B})$

Extensionalitätsaxiom
$A = B \iff \forall x(x \in A \iff x\in B)$

Wenn die Menge A gleich der Menge B ist, dann gilt für jede Zahl x die in A enthalten ist dass sie auch gleichzeitig in B enthalten ist, und anders herum.
Aussonderungsaxiom
$\forall y \exists z \forall x(x \in z \iff (x \in y \wedge A(x))$

Man kann aus jeder Menge y die Menge z aussondern, deren Werte x eine bestimmte Eigenschaft (A(x)) haben.

A(x) ist eine formulierbare Aussage, in der y und z nicht erwähnt werden.
Paarmengenaxiom
$\forall x, y \exists z \forall u (u \in z \iff (u = x \vee u = y))$

Man kann aus zwei beliebigen Mengen x, y eine Teilmenge z bilden, deren Elemente u Element von x oder/und y ist.
Vereinigungsaxiom
$\forall x \exists y \forall u (u \in y \iff \exists z(u \in z \wedge z \in x))$

Für jede Menge x gibt es eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind.

Für eine eindeutig definierte Menge y kann man auch $\cup x$ schreiben.
Potenzmengenaxiom
$\forall x \exists y \forall z (z \in y \iff \forall u(u \in z \implies u \in x))$

Wenn z ein Element von y ist, und y eine Teilmenge von x, dann gilt für alle Zahlen u die ein Element von z sind, das sie gleichzeitig auch ein Element von x sind.
Unendlichkeitsaxiom
$\exists x(\emptyset \in x \wedge \forall y \in x(Sc(y) \in x))$

Das Unendlichkeitsaxiom behauptet das es eine Menge gibt, die $\emptyset$ als Teilmenge hat und unter der Operation Sc abgeschlossen ist.

Sc steht für Successor, also Nachfolger.