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Funktionen

Sonntag, 15. November 2009

Eine Funktion besteht aus geordneten Paaren. Das bedeutet zu jedem x-Wert gibt es einen (!!) y-Wert. Deshalb kann man ein geordnetes Paar auch so schreiben: (x, y).
Wenn (x_1, y_1) = (x_2, y_2) dann folgt daraus, dass x_1 = x_2 und y_1 = y_2.
(x, y) = (y, x) gilt nur wenn x = y.
Ein geordnetes Paar wird auch als Tupel bezeichnet. Dabei ist ein Tupel mit 2 Elementen (x, y) ein 2-Tupel, mit 3 Elementen (x, y, z) 3-Tupel oder auch Tripel, usw.

Kartesisches Produkt

Das Kartesisches Produkt ist die Menge aller geordneten Paare die sich aus den beiden Ausgangsmengen bilden lassen.

“Jedes mit jedem”

Die Definition ist: A \times B := \{(a, b) | a \in A, b \in B \}
Beispiele und weitere Gesetze, siehe Wikipedia.

Definitionsbereich, Wertebereich und Graph

Nehmen wir eine an, wir hätten 2 Mengen A und B und Funktion von A nach B ist gegeben durch die Menge G \subseteq A \times B. Wobei gilt: \forall x \in A \exists y \in B (x, y) \in G. Die Funktion ist demnach f = (A, B, C).
Definitionsbereich: D(f) = A
Wertebereich: W(f) = B
Graph: graph(f) = G
2 Funktionen sind gleich, wenn der Wertebereich, Definitionsbereich und Graph identisch ist.

Eine Funktion f von A nach B schreibt man f: A \to B.

Die Funktion g ist die Erweiterung von f, wenn D(f) \subseteq D(g).

Eigenschaften

  • Eine Funktion ist injektiv, wenn jeder Funktionswert maximal einmal erreicht wird.
    \forall x_1, x_2 \in A (f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2)
  • Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens einmal abgebildet wird.
    \forall y \in B \exists x \in A f(x) = y
  • Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
    \forall y \in B \exists^1 x \in A f(x) = y

Beispiel I.4.5

Bilder

  • Das Bild eines Elements a der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert (f(a)).
    </li>

  • Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge A, also f(A) := \{f(a) | a \in A\}. Das Bild ist also eine Teilmenge des Wertebereichs.
    Beispiele.
  • Das Urbild eines Elements b des Wertebereich ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild (resultierender Funktionswert) b ist. Man schreibt f^{-1}(b) := \{a \in A | f(a)=b\}.
    Beispiele.
  • Das Urbild einer Teilmenge T des Wertebereiches ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: f^{-1}(T) := \{a \in A | f(a) \in T\}.
  • Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element des Wertebereichs das Urbildelement zu.
  • Unter der Verkettung oder Komposition versteht man die Hintereinanderausführung (g \circ f)(a) := g(f(a)) zweier Funktionen für alle Elemente des Defnitionsbereiches.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn sehr kleine Änderungen an den Eingangswerten auch nur sehr kleine Änderungen an den Ausgangswerten verursachen. Beispiele: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Beispiele_und_Gegenbeispiele

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