Artikel-Schlagworte: „Wertebereich“

Funktionen

Sonntag, 15. November 2009

Eine Funktion besteht aus geordneten Paaren. Das bedeutet zu jedem x-Wert gibt es einen (!!) y-Wert. Deshalb kann man ein geordnetes Paar auch so schreiben: (x, y).
Wenn (x_1, y_1) = (x_2, y_2) dann folgt daraus, dass x_1 = x_2 und y_1 = y_2.
(x, y) = (y, x) gilt nur wenn x = y.
Ein geordnetes Paar wird auch als Tupel bezeichnet. Dabei ist ein Tupel mit 2 Elementen (x, y) ein 2-Tupel, mit 3 Elementen (x, y, z) 3-Tupel oder auch Tripel, usw.

Kartesisches Produkt

Das Kartesisches Produkt ist die Menge aller geordneten Paare die sich aus den beiden Ausgangsmengen bilden lassen.

“Jedes mit jedem”

Die Definition ist: A \times B := \{(a, b) | a \in A, b \in B \}
Beispiele und weitere Gesetze, siehe Wikipedia.

Definitionsbereich, Wertebereich und Graph

Nehmen wir eine an, wir hätten 2 Mengen A und B und Funktion von A nach B ist gegeben durch die Menge G \subseteq A \times B. Wobei gilt: \forall x \in A \exists y \in B (x, y) \in G. Die Funktion ist demnach f = (A, B, C).
Definitionsbereich: D(f) = A
Wertebereich: W(f) = B
Graph: graph(f) = G
2 Funktionen sind gleich, wenn der Wertebereich, Definitionsbereich und Graph identisch ist.

Eine Funktion f von A nach B schreibt man f: A \to B.

Die Funktion g ist die Erweiterung von f, wenn D(f) \subseteq D(g).

Eigenschaften

  • Eine Funktion ist injektiv, wenn jeder Funktionswert maximal einmal erreicht wird.
    \forall x_1, x_2 \in A (f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2)
  • Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens einmal abgebildet wird.
    \forall y \in B \exists x \in A f(x) = y
  • Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
    \forall y \in B \exists^1 x \in A f(x) = y

Beispiel I.4.5

Bilder

  • Das Bild eines Elements a der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert (f(a)).
    </li>

  • Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge A, also f(A) := \{f(a) | a \in A\}. Das Bild ist also eine Teilmenge des Wertebereichs.
    Beispiele.
  • Das Urbild eines Elements b des Wertebereich ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild (resultierender Funktionswert) b ist. Man schreibt f^{-1}(b) := \{a \in A | f(a)=b\}.
    Beispiele.
  • Das Urbild einer Teilmenge T des Wertebereiches ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: f^{-1}(T) := \{a \in A | f(a) \in T\}.
  • Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element des Wertebereichs das Urbildelement zu.
  • Unter der Verkettung oder Komposition versteht man die Hintereinanderausführung (g \circ f)(a) := g(f(a)) zweier Funktionen für alle Elemente des Defnitionsbereiches.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn sehr kleine Änderungen an den Eingangswerten auch nur sehr kleine Änderungen an den Ausgangswerten verursachen. Beispiele: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Beispiele_und_Gegenbeispiele

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Bild einer Funktion (auch Bildmenge)

Montag, 2. November 2009

Das Bild einer Funktion (auch als Bildmenge bekannt) ist ein Teilbereich des Wertebereich der Funktion. Es bezeichnet dabei allerdings nur die Elemente des Definitionsbereiches die die Funktion auch wirklich annimmt.

Beispiele:
1) f(x)=\frac{1}{x} Bildmenge von f(\mathbb{R} \setminus \{0\}) ist \mathbb{R} \setminus \{0\}

2) f(x)=x^2 Bildmenge von f(\mathbb{R}) ist \mathbb{R}_+

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